От «математической магии» до свободного ПО

Доцент кафедры высшей математики Илья Щуров нашел способ облегчить студентам и преподавателям работу с дифференциальными уравнениями. Он разработал методику обучения студентов решению дифференциальных уравнений с помощью свободного ПО. С проектом «Использование системы IPython Notebook в преподавании математических курсов» Щуров стал победителем конкурса «Создание оригинального междисциплинарного учебного курса» Фонда образовательных инноваций ВШЭ.

Об устройстве курсов и технических «трюках»

Мы с моей коллегой Ириной Аскольдовной Хованской и профессором Юлием Сергеевичем Ильяшенко регулярно обсуждали, как правильно преподавать дифференциальные уравнения студентам, для которых математика — рабочий инструмент, но не специализация. Например, экономистам. Ведь студенты и исследователи-экономисты часто строят модели социально-экономических процессов, которые сводятся к дифференциальным уравнениям.

Как обычно устроено большинство математических курсов? Есть теоретическая (лекционная) часть, и есть семинары, на которых обсуждается, как с помощью ручки и бумаги решать задачи. Зачастую речь идет о разнообразных технических приемах и «трюках», такой «математической магии», позволяющей решать какие-то классы уравнений. Однако сейчас необходимость в знании этих «трюков» падает, так как компьютеры и математические пакеты частично берут на себя техническую работу.

Мне хотелось создать курс по дифференциальным уравнениям, включающий в себя помимо глубокой теории и традиционных семинаров еще и сильную компьютерную составляющую. Его задача — дать студентам возможность использовать компьютерные инструменты для решения практических задач, переводить задачи на «компьютерный» язык и правильно интерпретировать ответ.

О том, почему именно Python

Я некоторое время раздумывал над тем, какой компьютерный инструмент можно использовать для наших задач в рамках курса «Дифференциальные уравнения». Например, на курсе математического анализа мы использовали веб-сервис WolframAlpha, но для дифференциальных уравнений его возможностей не хватает. Можно взять что-то более сложное, например, «старшего брата» WolframAlpha, систему Wolfram Mathematica, или близкую к ней по функциям систему Maple, или еще какие-то подобные инструменты. Все это довольно мощные, сложные и дорогие профессиональные системы. И мне кажется, не очень правильным использовать их в качестве основного инструмента для обучения, так как это создает у студента привязанность к конкретному продукту, и дальше он вынужден его покупать.

Надо помнить, что компьютеры не могут заменить исследователя — мало получить ответ, нужно еще понять, что он означает

Я решил обратиться к свободному программному обеспечению, в частности, к языку программирования Python. Для него разработан набор библиотек, которые позволяют достаточно эффективно работать с математическим аппаратом. Например, библиотеки для создания графиков и диаграмм matplotlib и pyplot, библиотека numpy для работы с векторами и матрицами (аналог MATLAB), система компьютерной алгебры SymPy, напоминающая Mathematica и другие.

Плюс ко всему, и это очень важно, есть среда IPython Notebook, позволяющая очень легко работать со всеми этими библиотеками в интерактивном режиме. Проще говоря, пользователь набирает несколько команд, нажимает ввод, а компьютер все считает и рисует картинку или выдает формулу в ответ.

Мы с моим коллегой, учебным ассистентом этого курса Андреем Петриным написали библиотеку вспомогательных функций, которые упрощают работу с IPython Notebook для наших задач. Например, наша библиотека позволяет нарисовать фазовый портрет дифференциального уравнения (грубо говоря, графики его решений) одной командой. В этой же среде я пишу конспекты лекций, демонстрируя, как с ее помощью можно решать уравнения, строить графики решений, фазовые портреты. Получается такой частично интерактивный конспект — можно его просто читать, а можно скачать исходный код, запустить его в IPython Notebook и смотреть, как будут меняться ответы и иллюстрации при изменении уравнений или каких-то параметров.

О практической пользе и сложностях внедрения

Курс «Дифференциальные уравнения» я читаю студентам 2-го курса совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ. Для них это курс по выбору. И так как не все записавшиеся на него студенты были готовы к тому, что им придется столкнуться с элементами программирования, часть, связанную с освоением системы IPython Notebook, мы сделали необязательной.

Чтобы пользоваться этой системой, глубоких знаний программирования не требуется, но так как это все же был новый для студентов материал, Андрей Петрин проводил дополнительные занятия, посвященные программированию. В итоге примерно четверть студентов курса участвовали в проекте. Хотя мне, конечно, хотелось бы, чтобы все слушатели научились пользоваться IPython Notebook. Может быть, через несколько лет эта часть станет обязательной.

Но при этом, конечно, надо помнить, что компьютеры не могут заменить исследователя — мало получить ответ, нужно еще понять, что он означает. А для этого необходимо хорошо знать теорию.

Например, вы моделируете демографическую ситуацию, выписываете дифференциальное уравнение для роста населения и видите, что решить его «руками» слишком сложно. (Вообще говоря, большинство дифференциальных уравнений не решаются явно.) Тогда вы вводите это уравнение в компьютер, и он вам мгновенно выдает решение в виде графика зависимости изменения численности населения от времени. Но достаточно ли этого? Допустим, по графику видно, что население медленно убывает. Можно ли сделать из этого какие-то выводы? Наверное, можно, но сразу возникают вопросы: что будет, если подождать очень долго, например, несколько тысяч лет — население вымрет совсем или стабилизируется на определенном уровне? А если поменять другие параметры модели? Чтобы научиться отвечать на такие вопросы, нужно владеть теорией и уметь многие вещи делать «руками», без компьютера.

О конкурсе и мотивации

Я с самого начала рассчитывал, что буду подавать заявку на конкурс ФОИ, это был дополнительный стимул разработать этот проект. К тому же, готовя заявку, я изучил похожие проекты, которые были до нас, и нашел коллег для будущей совместной работы. Система IPython Notebook может быть использована на любом математическом курсе, включающем в себя элементы математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнений и других разделов математики, требующих использования компьютерных инструментов для решения практических задач.

До 30 сентября идет прием заявок на осенний конкурс образовательных инноваций ФОИ. Заявки могут описывать оригинальные педагогические разработки курсов, семинаров, практикумов и других форм учебной активности. Для тех, чья идея не укладывается в заданные организаторами рамки шести направлений, есть «Вольная номинация». Подробную информацию и форму заявки можно найти на странице «Фонда образовательных инноваций».

P.S. Мы будем рассказывать и о других победителях конкурса ФОИ.

Людмила Мезенцева, новостная служба портала ВШЭ